함수 \(F(x) = \int_0^x f(t) dt\)라 하자. \(s(t) = e^t - \cos t\)라 두면 열린구간 \((0, 2\pi)\)에서 \(s(t) \ge 0\)이고 \(s'(t) = e^t + \sin t > 0\)이므로 \((s(t))^{2026}\)은 단조 증가한다.
\((0, \pi)\)에서 \((s(t+\pi))^{2026} > (s(t))^{2026}\)이고 \(\sin(t+\pi) = -\sin t\)이므로
\(F(2\pi) = \int_0^{2\pi} f(t) dt = \int_0^\pi [(s(t+\pi))^{2026} - (s(t))^{2026}]\sin t dt > 0 = F(0)\)이다.
\(x < 0\)일 때 \(F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^{-x} \{-f(-s)\} ds = \int_0^{-x} f(s) ds = F(-x)\)이므로 \(F(x)\)는 우함수이다.
\(h(x) = \int_a^x f(t) dt = F(x) - F(a)\)이고 \(h(a) = 0\)이다.
함수 \(g(x) = |h(x)|\)가 실수 전체에서 미분가능하려면 곡선 \(y = F(x)\)와 직선 \(y = F(a)\)의 모든 교점에서 \(F'(x) = f(x) = 0\)이 성립해야 한다.
함수 \(y = F(x)\)의 그래프 개형에 의해 접선의 기울기가 \(0\)이면서 극값이 일치하여 꺾임점 없이 부드럽게 접하는 \(a\)의 값은 \(-2\pi, -\pi, \pi, 2\pi\)이다.
[답] \(a = -2\pi, -\pi, \pi, 2\pi\)

연립방정식 \(y = a(x-1)\), \(x^2 + y^2 = 1\)을 풀면 교점의 좌표는 \(P(1, 0)\), \(Q\left(\frac{a^2-1}{a^2+1}, -\frac{2a}{a^2+1}\right)\)이다.
선분 \(\overline{PQ}\)의 길이는 \(\overline{PQ} = \frac{2}{\sqrt{a^2+1}}\)이고, 점 \(P\)와 직선 \(L': y = a(x-1) + k\) 사이의 거리는 \(d = \frac{k}{\sqrt{a^2+1}}\)이다.
직사각형 \(PBCQ\)의 넓이는 \(d \times \overline{PQ} = \frac{2k}{a^2+1}\)이다.
또한 두 점 \(R, S\)의 \(x\)좌표의 차를 \(d_x = \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)라 하면, \(\overline{RS} = d_x \sqrt{1+a^2} = \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{\sqrt{1+a^2}}\)이다.
직사각형 \(ARSD\)의 넓이는 \(d \times \overline{RS} = k \cdot \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)이다.
둘러싸인 영역의 넓이 \(S(k)\)는 직사각형 \(PBCQ\)를 포함하고 직사각형 \(ARSD\)의 내부에 존재하므로
\(\frac{2k}{a^2+1} \le S(k) \le k \cdot \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2} \implies \frac{2}{a^2+1} \le \frac{S(k)}{k} \le \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)이다.
조임정리에 의해 \(k \to 0^+\)일 때 극한값을 취하면 \(\lim_{k \to 0^+} \frac{S(k)}{k} = \frac{2}{1+a^2}\)이다.
[답] \(\frac{2}{1+a^2}\)

\(h(t) = f(g(t))\)의 양변을 미분하면 \(h'(t) = f'(g(t))g'(t)\), \(h''(t) = f''(g(t))\{g'(t)\}^2 + f'(g(t))g''(t)\)이다.  ··· ㉠
조건 (2)에서 \(t=1\)일 때 점 \(P\)의 속력 \(\sqrt{1+\{g'(t)\}^2}\)이 최대이므로 \(\{g'(t)\}^2\)도 최대이다. 따라서 \(2g'(1)g''(1) = 0\).
속력이 \(\sqrt{2}\)이므로 \(\sqrt{1+\{g'(1)\}^2} = \sqrt{2} \implies g'(1) = \pm 1\).
조건 (3), (4)에서 \(f'(g(1))g'(1) = h'(1) = \frac{9}{4} > 0\)이고 \(f'(x) > 0\)이므로 \(g'(1) = 1, g''(1) = 0\)이다.
㉠에서 \(f'(g(1)) = \frac{9}{4}\), \(f''(g(1)) = h''(1) = -2\)이다.  ··· ㉡
조건 (1)에 의해 \(g(1/4) = 0, g''(1/4) = 1\). 따라서 \(f(0) = f(g(1/4)) = h(1/4) = 0\).  ··· ㉢
또한 \(g(t) \ge 0 = g(1/4)\)이므로 최솟값 조건에서 \(g'(1/4) = 0\).
㉠에 대입하면 \(f'(0) = f'(g(1/4)) = \frac{h''(1/4)}{g''(1/4)} = \frac{4}{1} = 4\).  ··· ㉣
㉢, ㉣에서 삼차함수는 \(f(x) = x^3 + ax^2 + 4x\) (\(a\)는 실수)이다.
\(g(1) = b \ge 0\)이라 하면 ㉡에서 \(3b^2 + 2ab + 4 = \frac{9}{4} \implies 3b^2 + 2ab + \frac{7}{4} = 0\), \(6b + 2a = -2 \implies 3b + a = -1\).
연립하면 \(a = -\frac{5}{2}, b = \frac{1}{2} \ge 0\). 따라서 \(f(x) = x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x\)이다.
그러므로 \(f(3) = 3^3 - \frac{5}{2}(3^2) + 4(3) = 27 - \frac{45}{2} + 12 = 39 - \frac{45}{2} = \frac{33}{2}\)이다.
[답] \(\frac{33}{2}\)